Menu: Home :: go to Journal :: switch to Russian :: switch to English
You are here: all Journals and Issues→ Journal→ Issue→ Article

ABOUT SINGULAR CONTROLS OF MAXIMUM PRINCIPLE FOR TERMINAL OPTIMIZATION PROBLEM CONNECTED WITH GOURSAT-DARBOUX SYSTEM

Annotation

In this paper we consider the terminal optimization problem connected with Goursat-Darboux control system. The right-hand side of the differential equation is a full nonlinear Caratheodory function. We consider the case in which solutions of the Goursat-Darboux system necessarily belongs to the class of functions with p-integrable (for some p>1) mixed derivatives. In our case a choice of this class is defined by boundary functions. Derivatives of the boundary functions belong to the corresponding space of Lebesgue. We study singular controls in the sense of the pointwise maximum principle, i.e., controls for which this principle is degenerate. We consider strong degeneration of the pointwise maximum principle (this principle is the necessary first-order optimality conditions by using of needle-shaped variation of a control) when the maximum principle degenerate together with second-order optimality conditions. We show that for strong degeneration of the pointwise maximum principle it is sufficient that right-hand side with respect to state derivatives is affine and this derivatives and control are separeted additivelly. We provide necessary optimality condition of the singular controls in this case. This condition is generalization of the similar necessary optimality conditions which were obtained for more smooth right-hand side in the case of solutions with bounded mixed derivatives.

Keywords

nonlinear Goursat-Darboux system; solutions having summable mixed derivatives; terminal optimization problem; maximum principle; singular controls

Full-text in one file

Download

UDC

517.95

Pages

1264-1274

References

1. Gabasov R., Kirillova F.M. Osobye optimal'nye upravlenija. M.: Nauka, 1973. 2. Vasil'ev O.V. Kachestvennye i konstruktivnye metody optimizacii upravljaemyh processov s raspredelennymi parametrami: avtoref. disc. ... d-ra fiz.-mat. nauk. L.: LGU, 1984. 3. Morduhovich B.Sh. Metody approksimacii v zadachah optimizacii i upravlenija. M.: Nauka, 1988. 4. Zelikin M.I., Borisov V.F. Osobye optimal'nye rezhimy v zadachah matematicheskoj jekonomiki // Sovremennaja matematika i ee prilozhenija. Tbilisi: Institut kibernetiki AN Gruzii, 2003. T. 11. S. 3-161. 5. Vasil'ev O.V. Ob optimal'nosti osobogo upravlenija v sistemah s raspredelennymi parametrami // Tezisy dokl. II Vsesojuznoj konf. po problemam teoreticheskoj kibernetiki. Novosibirsk, 1971. S. 26-27. 6. Vasil'ev O.V. Ob optimal'nosti osobyh upravlenij v sistemah s raspredelennymi parametrami // Upravljaemye sistemy. Novosibirsk, 1972. № 10. S. 27-34. 7. Ashhepkov L.T., Vasil'ev O.V. Ob optimal'nosti osobyh upravlenij v sistemah Gursa–Darbu // Zhurn. vychisl. matem. i matem. fiziki. 1975. T. 15. № 5. S. 1157-1167. 8. Srochko V.A. Uslovija optimal'nosti dlja odnogo klassa sistem s raspredelennymi parametrami // Sib. matemat. zhurn. 1976. T. 17. № 5. C. 1108-1115. 9. Melikov T.K. Issledovanie osobyh processov v nekotoryh optimal'nyh sistemah: avtoref. disc. ... k-ta fiz.-matem. nauk. Baku: Bakinskij gos. un-t, 1976. 10. Ashhepkov L.T., Vasil'ev O.V., Kovalenok I.L. Usilennoe uslovie optimal'nosti osobyh upravlenij v sisteme Gursa–Darbu // Differenc. uravnenija. 1980. T. 16. № 6. S. 1054-1059. 11. Burdukovskij A.N. Uslovija optimal'nosti osobyh upravlenij v zadache Gursa–Darbu // Upravljaemye sistemy. Novosibirsk, 1986. № 26. C. 16-24. 12. Mansimov K.B. K teorii neobhodimyh uslovij optimal'nosti v odnoj zadache upravlenija sistemami s raspredelennymi parametrami // DAN SSSR. 1988. T. 301. № 3. S. 546-550. 13. Vasil'ev O.V., Srochko V.A., Terleckij V.A. Metody optimizacii i ih prilozhenija. Ch. 2. Optimal'noe upravlenie. Novosibirsk: Nauka, 1990. 14. Mansimov K.B. Neobhodimye uslovija optimal'nosti osobyh processov v zadachah optimal'nogo upravlenija: avtoref. diss. ... d-ra fiz.-mat. nauk. Baku: Bakinskij gos. un-t, 1994. 15. Mansimov K.B., Mardanov M.Dzh. Kachestvennaja teorija optimal'nogo upravlenija sistemami Gursa–Darbu. Baku: Jelm, 2010. 16. Gabasov R., Kirillova F.M., Mansimov K.B. Neobhodimye uslovija optimal'nosti vtorogo porjadka dlja sistem s raspredelennymi parametrami. Minsk, 1982. (Preprint AN BSSR. In-t matematiki, № 31). 17. Mansimov K.B. Osobye upravlenija v zadachah upravlenija sistemami s raspredelennymi parametrami // Sovremennaja matematika i ee prilozhenija. Tbilisi: Institut kibernetiki AN Gruzii, 2006. T. 42. S. 39-83. 18. Sumin V.I. Optimizacija upravljaemyh obobshhennyh vol'terrovyh sistem: avtoref. diss. ... k-ta fiz.-mat. nauk. Gor'kij: GGU, 1975. 19. Sumin V.I. Differencirovanie funkcionalov optimal'nogo upravlenija // Materialy itogovoj nauchnoj konf. radiofiz. f-ta GGU za 1982 g. Gor'kij 1-2 fevralja 1983. Chast' 2. VINITI, №6035-83 DEP. 1983. 20. Sumin V.I. Sil'noe vyrozhdenie osobyh upravlenij v raspredelennyh zadachah optimizacii // DAN SSSR. 1991. T. 320. № 2. S. 295-299. 21. Sumin V.I. Sil'noe vyrozhdenie osobyh upravlenij v zadachah optimizacii raspredelennyh sistem // Optimizacija: sb. nauchn. tr. Novosibirsk, 1993. № 52 (69). C. 74-94. 22. Sumin V.I. Ob osobyh upravlenijah potochechnogo principa maksimuma v raspredelennyh zadachah optimizacii // Vestnik Udmurtskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Matematika. Mehanika. Komp'juternye nauki. 2010. № 3. S. 70-80. 23. Tolstonogov A.A. Teorema sushhestvovanija optimal'nogo upravlenija v zadache Gursa–Darbu bez predpolozhenija vypuklosti // Izvestija RAN. Serija: Matematika. 2000. T. 64. № 4. S. 163-182. 24. Idczak D., Majewski M., Walczak S. Stability analysis of solutions to an optimal control problem associated with a Goursat–Darboux problem // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. 2003. V. 13. № 1. P. 29-44. 25. Idczak D. The bang-bang principle for the Goursat–Darboux problem // Int. J. Contr. 2003. V. 76. № 11. P. 1089-1904. 26. Pogodaev N.I. O reshenijah sistemy Gursa–Darbu s granichnymi i raspredelennymi upravlenijami // Differenc. uravnenija. 2007. T. 43. № 8. S. 1116-1126. 27. Lisachenko I.V., Sumin V.I. Ob uslovijah ustojchivosti sushhestvovanija global'nyh reshenij upravljaemoj zadachi Gursa–Darbu // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta. Serija: Matematicheskoe modelirovanie i optimal'noe upravlenie. 2006. Vyp. 2 (31). S. 64-81. 28. Lisachenko I.V., Sumin V.I. Nelinejnaja upravljaemaja zadacha Gursa–Darbu: uslovija sohranenija global'noj razreshimosti // Differenc. uravnenija. 2011. T. 47. № 6. S. 858-870. 29. Lisachenko I.V., Sumin V.I. Princip maksimuma dlja terminal'nojzadachi optimizacii sistemy Gursa–Darbu v klasse funkcij s summiruemoj smeshannoj proizvodnoj // Vestnik Udmurdskogo universiteta. Serija: Matematika. Mehanika. Komp'juternye nauki. 2011. Vyp. 2. S. 52-67. 30. Lisachenko I.V., Sumin V.I. Ob upravljaemoj zadache Gursa–Darbu v klassah funkcij s summiruemoj smeshannoj proizvodnoj // Vestnik Tambovskogo universiteta. Serija Estestvennye i tehnicheskie nauki. Tambov, 2007. T. 12. Vyp. 4. S. 477-479. 31. Lisachenko I.V., Sumin V.I. Nelinejnaja upravljaemaja zadacha Gursa–Darbu: uslovija sohranenija razreshimosti v «celom» // Vestnik Tambovskogo universiteta. Serija Estestvennye i tehnicheskie nauki. Tambov, 2009. T. 14. Vyp. 4. S. 736-738. 32. Lisachenko I.V., Sumin V.I. Ob upravljaemoj zadache Gursa–Darbu v klassah funkcij s sumiruemoj smeshannoj proizvodnoj // Vestnik Tambovskogo universiteta. Serija Estestvennye i tehnicheskie nauki. Tambov, 2011. T. 16. Vyp. 4. S. 1116-1118. 33. Sumin V.I. Ob osobyh upravlenijah v raspredelennyh zadachah optimizacii // Vestnik Tambovskogo universiteta. Serija Estestvennye i tehnicheskie nauki. Tambov, 2013. T. 18. Vyp. 5. S. 2696-2697. 34. Sumin V.I. Funkcional'no-operatornye vol'terrovy uravnenija v teorii optimal'nogo upravlenija raspredelennymi sistemami // Dokl. AN SSSR. 1989. T. 305. № 5. S. 1056-1059. 35. Sumin V.I. Funkcional'nye vol'terrovy uravnenija v teorii optimal'nogo upravlenija raspredelennymi sistemami. N. Novgorod: Izd-vo NNGU, 1992. 36. Sumin V.I. Upravljaemye funkcional'nye vol'terrovy uravnenija v lebegovyh prostranstvah // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta. Serija: Matematicheskoe modelirovanie i optimal'noe upravlenie. 1998. Vyp. 2 (19). S. 138-151. 37. Plotnikov V.I., Sumin V.I. Optimizacija ob#ektov s raspredelennymi parametrami, opisyvaemyh sistemami Gursa–Darbu // Zh. vychisl. matem. i matem. fiz. 1972. T. 12. № 1. S. 61-77. 38. Ahmedov K.T., Ahiev S.S. Neobhodimye uslovija optimal'nosti dlja nekotoryh zadach teorii optimal'nogo upravlenija // Dokl. AN AzSSR. 1972. T. 28. № 5. S. 12-16. 39. Plotnikov V.I., Sumin V.I. Optimizacija raspredelennyh sistem v lebegovom prostranstve // Sib. matem. zhurn. 1981. T. 22. № 6. S. 142-161. 40. Lisachenko I.V., Sumin V.I. Ob osobyh upravlenijah principa maksimuma dlja terminal'noj zadachi optimizacii sistemy Gursa–Darbu // Izvestija Instituta matematiki i informatiki UdGU. 2012. Vyp. 1(39). S. 80-81. 41. Lisachenko I.V., Sumin V.I. Ob osobyh upravlenijah potochechnogo principa maksimuma v zadache optimizacii sistemy Gursa–Darbu // Vestnik Tambovskogo Universiteta. Serija Estestvennye i tehnicheskie nauki. Tambov, 2013. T. 18. Vyp. 5. S. 2576-2577. 42. Lisachenko I.V., Sumin V.I. Ob osobyh upravlenijah potochechnogo principa maksimuma dlja terminal'noj zadachi optimizacii sistemy Gursa–Darbu// NNGU. N. Novgorod, 2012. 26 s. Dep. v 13.03.2012. VINITI, № 89 - V.2012. 43. Lisachenko I.V. Uslovija sohranenija global'noj razreshimosti i optimizacija nelinejnyh upravljaemyh sistem Gursa–Darbu: avtoref. diss. ... k-ta fiz.-mat. nauk. N. Novgorod: NNGU, 2012. 44. Shefer H. Topologicheskie vektornye prostranstva. M.: Mir, 1971. 45. Sumin V.I., Chernov A.V. Operatory v prostranstvah izmerimyh funkcij: vol'terrovost' i kvazinil'potentnost' // Differenc. uravnenija. 1998. T. 34. № 10. S. 1402-1411. 46. Ioffe A.D., Tihomirov V.M. Teorija jekstremal'nyh zadach. M.: Nauka, 1974.

Received

2015-06-07

Section of issue

Scientific articles

Для корректной работы сайта используйте один из современных браузеров. Например, Firefox 55, Chrome 60 или более новые.