Меню: Главная :: К журналу :: switch to Russian :: switch to English
Вы здесь: Все журналы и выпуски→ Журнал→ Выпуск→ Статья

О КОРРЕКТНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЙРОПОЛЕЙ С ИМПУЛЬСНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

Аннотация

Формулируется и доказывается теорема о корректности абстрактных уравнений Volterra в метрических пространствах. Далее рассматривается нелинейное интегральное уравнение Volterra, частными случаями которого являются уравнения, используемые в математической нейробиологии. Исследуются решения, стремящиеся к нулю в любой момент времени при неограниченном росте пространственной переменной. В литературе такие решения называют «локализованными в пространстве» или «бампами», они соответствуют нормальному функционированию головного мозга. Ставится задача импульсного управления, управляющими параметрами являются моменты времени, в которые решение терпит разрывы, и величины соответствующих скачков решения. Такие управления моделируют электрическую стимуляцию мозга, применяемую при лечении расстройств центральной нервной системы. Для исследования данной управляемой интегральной системы определяется специальное полное метрическое (не являющееся линейным) функциональное пространство. В этом пространстве получены условия существования, единственности и продолжаемости решения, а также его непрерывной зависимости от импульсного управления.

Ключевые слова

абстрактные уравнения Volterra; нелинейные интегральные уравнения; уравнения Volterra; уравнения нейрополей; импульсное управление; корректность

Полный текст статьи

Скачать

DOI

10.20310/1810-0198-2016-21-1-16-27

УДК

517.988; 517.968.4; 51-76

Страницы

16-27

Список литературы

1. Vainikko G.M. Regular convergence of operators and approximate solution of equations // Science and Technics Totals, Journal of Soviet Mathematics, 1981. V. 6. P. 675-705. 2. Azbelev N.V., Maksimov V.P. and Rakhmatullina L.F. Introduction to the Theory of Functional Differential Equations: Methods and Applications // Hindawi Publishing Corporation, N.Y., 2007. 3. Amari S. Dynamics of Pattern Formation in Lateral-Inhibition Type Neural Fields // Biol. Cybern, 1977. V. 27. P. 77-87. 4. Coombes S. Waves, bumps, and patterns in neural field theories // Biol. Cybern, 2005. V. 93. P. 91-108. 5. Blomquist P., Wyller J. and Einevoll G.T. Localized activity patterns in two-population neuronal networks // Physica D, 2005. V. 206. P. 180-212. 6. Faye G. and Faugeras O. Some theoretical and numerical results for delayed neural field equations // Physica D, 2010. V. 239. P. 561-578. 7. Malyutina E., Wyller J. and Ponosov A. Two bump solutions of a homogenized Wilson - Cowan model with periodic microstructure // Physica D, 2014. V. 271. P. 19-31. 8. Sompolinsky H., Shapley R. New perspectives on the mechanisms for orientation selectivity // Curr. Opin. Neurobiol, 1997. V. 5. P. 514-522. 9. Taube J.S., Bassett J.P. Persistent neural activity in head direction cells // Cereb. Cortex, 2003. V. 13. P. 1162-1172. 10. Fuster J.M., Alexander G. Neuron activity related to short-term memory // Science, 1971. V. 173. P. 652. 11. Wang X-J. Synaptic reverberation underlying mnemonic persistent activity // Trends Neurosci, 2001. V. 24. P. 455-463. 12. Pinotsis D.A., Leite M. and Friston K.J. On conductance-based neural field models // Frontiers in Computational Neuroscience, 2013. V. 7. P. 158. 13. Tass P.A. A model of desynchronizing deep brain stimulation with a demand-controlled coordinated reset of neural subpopulations // Biological cybernetics, 2003. V. 89. P. 81-88. 14. Suffczynski P., Kalitzin S. and Lopes Da Silva F.H. Dynamics of non-convulsive epileptic phenomena modeled by a bistable neuronal network // Neuroscience, 2004. V. 126. P. 467-484. 15. Kramer M.A., Lopour B.A., Kirsch H.E. and Szeri A.J. Bifurcation control of a seizing human cortex // Physical Review E, 2006. V. 73. P. 419-428. 16. Schiff S.J. Towards model-based control of Parkinson’s disease // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2010. V. 368. P. 2269-2308. 17. Ruths J., Taylor P., Dauwels J. Optimal Control of an Epileptic Neural Population Model // Proceedings of the International Federation of Automatic Control, Cape Town, 2014. 18. Zhukovskiy E.S. Continuous dependence on parameters of solutions to Volterra’s equations // Sbornik: Mathematics, 2006. V. 10. P. 1435-1457. 19. Burlakov E., Zhukovskiy E., Ponosov A. and Wyller J. On wellposedness of generalized neural field equations with delay // Journal of Abstract Differential Equations and Applications, 2015. V. 6. P. 51-80. 20. Burlakov E., Zhukovskiy E.S. Existence, uniqueness and continuous dependence on control of solutions to generalized neural field equations // Tambov University Reports. Series: Natural and Technical sciences, 2015. V. 20. Issue 1. P. 9-16. 21. Zhukovskiy E.S. Generalized Volterra operators in metric spaces // Tambov University Reports. Series: Natural and Technical sciences, 2009. V. 14. Issue 3. P. 501-508 (In Russian).

Поступила в редакцию

2015-12-07

Название раздела в выпуске

Математика

Для корректной работы сайта используйте один из современных браузеров. Например, Firefox 55, Chrome 60 или более новые.